主成分分析
首先，PCA是一种常用的数据降维技术，其目的是从原始数据中提取出最重要的信息，同时减少数据的维度。PCA将原始数据通过线性变换转换为新的变量，使得新的变量（也称为主成分）具有最大的方差。主成分的方差反映了数据的重要性，因此我们可以通过选择前几个主成分来表示数据的主要特征。
下面，我将介绍PCA的推导过程。
假设我们有一个 m 维的数据集 X={x_1, x_2, …, x_n}，其中每个 x_i 是一个 m 维向量。我们的目标是通过线性变换将 X 转换为一个 k 维的新数据集 Y={y_1, y_2, …, y_n}，其中每个 y_i 是一个 k 维向量，k<m。这个线性变换可以表示为：
Y=PX
其中 P 是一个 m \times k 的矩阵，它将原始数据 X 转换为新的数据 Y。
我们希望选择一个 P，使得新的数据集 Y 具有最大的方差，因为方差反映了数据的重要性。因此，我们需要找到一个 P，使得 Y 的协方差矩阵 C_Y 的主对角线上的元素最大。
为了求解 P，我们可以使用特征值分解（Eigenvalue Decomposition）来求解协方差矩阵 C_X 的特征向量和特征值。具体来说，我们可以按照以下步骤求解 P：
将原始数据 X 进行中心化处理，即对每个特征求均值并将每个特征的值减去均值，得到中心化后的数据 X_c。
计算中心化后的数据的协方差矩阵 C_X=\frac{1}{n-1}X_c^TX_c。
对协方差矩阵 C_X 进行特征值分解，得到特征向量 V 和特征值 \lambda。
选择前 k 个特征值对应的特征向量组成矩阵 P。
需要注意的是，特征向量是按照其对应的特征值大小从大到小排序的，因此前 k 个特征向量对应的特征值是协方差矩阵 C_X 的前 k 大特征值。
通过上述步骤，我们就可以得到一个 m \times k 的矩阵 P，它将原始数据 X 转换为一个 k 维的新数据集 Y。其中，P 的列向量是协方差矩阵 C_X 的特征向量，k 是我们选择的新数据集的维度。这些特征向量是经过归一化处理的，使得它们的长度为 1。
当我们将原始数据 X 映射到新的数据集 Y 中时，可以将 X 中每个数据点 x_i 分别转换为 Y 中的向量 y_i。可以将 y_i 看作是 x_i 在新的坐标系下的投影，其中坐标系的基向量是 P 的列向量。因此，我们可以使用 Y 中的数据点 y_i 来代替原始数据点 x_i，从而达到降维的目的。
总的来说，主成分分析可以将高维数据降维到低维空间，同时保留了原始数据的主要特征。这使得我们可以更好地理解和可视化数据，并更容易地进行后续分析。