第二章 矩阵代数
2.1 矩阵运算
若A是mxn矩阵，即由m行n列的矩阵，A的第i行第j列的元素用a_{ij}表示，成为A的(i,j)元素。A的各列是R^m的向量用（黑体字母）a_1,\dots,a_n表示。当我们特别注意A的各列时，我们写成A=\begin{bmatrix}a_1&a_2&\dots&a_n\end{bmatrix},注意a_{ij}是第j个列向量a_j）(从上面算起)的第i个元素。
A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}的对角元素使a_{11},a_{22},a_{33},\dots,他们组成A的主对角线。对角矩阵是一个仿真，它的非对角线元素全是0.元素全是零的mxn的矩阵称为零矩阵，用0表示，可以用0_{mxn}表示。
和与标量乘法
定理1 设A，B,C是相同维数的矩阵，r与s为数，则有
a. A+B=B+A
b. (A+B)+C=A+(B+C)
c. A+0=A
d. r(A+B)=rA+rB
e. (r+s)A=rA+sA
f. r(sA)=(rs)A
矩阵乘法
当把矩阵B乘以向量x，它将x变为向量Bx,若这向量又乘以矩阵A，结果得向量A(Bx)
我们的目的是将此符合映射表示为乘以一个矩阵的变换，此矩阵记为AB，即
定义 若A是mxn矩阵，B是nxp矩阵，B的列是b_1,\dots,b_p，则乘积AB是mxp矩阵，它的各列是Ab_1,\dots.Ab_p,即
AB=A\begin{bmatrix}
b_1&b_2&\dots&b_p
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
Ab_1&Ab_2&\dots&Ab_p
\end{bmatrix}AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权。
由定义知，AB的行数等于A的行数，列数等于B的列数
计算AB的行列法则
若乘积AB有定义，AB的第i行第j列的元素是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。若(AB)_{ij}表示AB的(i,j)元素，A为mxn矩阵，则
矩阵乘法的性质
I_m表示mxm单位矩阵，对R^m中的一切x,I_mx=x。
定理2 设A为mxn矩阵，B、C的维数使下列各式的乘积有定义。
a. A(BC)=(AB)C
b. A(B+C)=AB+AC
c. (B+C)A=BA+CA
d. r(AB)=(rA)B+A(rB),
e. I_mA=A=AI_n
乘积中的左右顺序是重要的，因为一般来说AB与BA并不相同。这并不奇怪，因AB的列时A的各列的线性组合，而BA的各列是B的各列的线性组合。乘积AB的银子的位置需要这样强调，即A被B右乘，或B被A左乘。若AB=BA，我们称A和B彼此可交换。
{\color{red}警告}
1. 一般情况下,AB \neq BA
2. 消去律对矩阵乘法不成立，即若AB=AC，一般情况下，B=C并不成立
3. 若乘积AB是零矩阵，一般情况下，不能断定A=0或B=0
矩阵的乘幂
若A是nxn矩阵，K是正整数，则A^k表示k个A的乘积
若A不是零矩阵，且x属于R^n,则A^kx表示x被A连续左乘k次。若k=0,则A^0x就是x本身。因此A^0被解释为单位矩阵。
矩阵的转置
给定mxn矩阵A，则A的转置是一个nxm矩阵，用A^T表示，它的列时由A的对应行构成的。
定理3 设A与B表示矩阵，其维数使下列和与积有定义，则
a. （Ａ^T）^T=A
b. (A+B)^T=A^T+B^T
c. 对任意数ｒ，(rA)^T=rA^T
d. (AB)^T=B^TA^T若干个矩阵的乘积的转置等于他们的转置的乘积，但相乘的顺序相反。