2.2 矩阵的逆

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1 初等矩阵
2 逆矩阵的另一个观点

实数5的乘法逆是 $1/5$ 或 $5^{-1}$ ,它满足方程

5^{-1}\cdot5=1　和　5 \cdot 5^{-1}=1

　矩阵对逆的一般化也要求两个方程同时成立，并避免使用斜线记号表示除法，因为矩阵乘法不是可交换的，进一步，完全的一般化是可能的，当且仅当有关矩阵是方阵。
一个nxn矩阵 $A$ 是可逆的，若㛮一个nxn矩阵 $C$ 使：

AC=I 且 CA=I

这里 $I=I_n$ 是nxn单位矩阵，这时称 $C$ 是 $A$ 的逆阵。实际上， $C$ 由 $A$ 唯一确定，因为若 $B$ 是另一个 $A$ 的逆阵，那么将有 $B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C$ ,于是，若 $A$ 可逆，它的逆是唯一的，我们将它记为 $A^{-1}$ ，于是

AA^{-1}=I　且　A^{-1}A=I

不可逆的矩阵有时称为奇异矩阵,而可逆矩阵也称为非奇异矩阵

定理4　设 $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ ,若 $ad-bc \neq 0$ ，则A可逆，且

A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{rr}d&-b\\-c&a\end{array}\right]

若 $ad-bc=0$ ,则A不可逆

定理5　若 $A$ 是可逆nxn矩阵，则对每一 $R^n$ 中的 $b$ ,方程 $Ax=b$ 有唯一解 $x=A^{-1}b$ 。

定理5的公式很少用来解方程 $Ax=b$ ,因为 $\begin{bmatrix}A&b\end{bmatrix}$ 的变换通常更快。

定理6
a.　若 $A$ 是可逆矩阵，则 $A^{-1}也可逆而且(A^{-1})^{-1}=A$ 。
b.　若 $A$ 和 $B$ 都是nxn可逆矩阵，AB也可逆，且其逆是A和B的逆矩阵按相反顺序的乘积，即
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
c.　若A可逆，则 $A^T$ 也可逆，且其逆是 $A^{-1}$ 的转置，即 $（A^T）^{-1}=（A^{-1}）^T$

若干个nxn可逆矩阵的积也是可逆的，其逆等于这些矩阵按相反顺序的乘积

初等矩阵

把单位矩阵进行一次行变换，就得到初等矩阵

　若对mxn矩阵 $A$ 进行某种初等行变换，所得矩阵可写成 $EA$ ，其中 $E$ 是mxm矩阵，是由 $I_m$ 进行同一行变换所得。

若E是由I进行变换所得，则有同一类型的另一行变换把 $E$ 变回 $I$ ，因此，有初等矩阵 $F$ 使 $FE=I$ .因 $E$ 和 $F$ 对应互逆的变换，所以也有 $EF=I$ .

　每个初等矩阵 $E$ 是可逆的， $E$ 的逆是一个同类型的初等矩阵，它把 $E$ 变回 $I$ 。

定理7　nxn矩阵 $A$ 是可逆的，当且仅当 $A$ 行等价于 $I_n$ ，这是，把 $A$ 变为 $I_n$ 的一系列初等行变换同时把 $I_n$ 变成 $A^{-1}$ 。

求 $A^{-1}$ 的算法
把增广矩阵 $\begin{bmatrix}A&I\end{bmatrix}$ 进行行化简，若 $A$ 行等价于 $I$ ，则 $\begin{bmatrix}I&A^{-1}\end{bmatrix}$ ,否则，A没有逆。

逆矩阵的另一个观点

用 $e_1,\dots,e_n$ 表示 $I_n$ 的各列，则把 $\begin{bmatrix} A&I\end{bmatrix}$ 行变换成 $\begin{bmatrix}I&A^{-1}\end{bmatrix}$ 的过程可看做解n个方程组

Ax=e_1,　Ax=e_2,　\dots,　Ax=e_n \tag{2}

其中这些方程组的“增广列”都放在A的右边，构成矩阵

\begin{bmatrix}A&e_1&e_2&\dots&e_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&I\end{bmatrix}

方程 $AA^{-1}=I$ 及矩阵乘法定义说明 $A^{-1}$ 的列正好是方程(2)的解。这一点很有用，因为在某些应用问题中，只需要 $A^{-1}$ 的一列或两列，这时只需要解（2）中的相应方程

Filed under: 数学,线性代数,线性代数及其应用 - @ 2021年4月10日下午9:05