2.3 可逆矩阵的特征
定理8 （可逆矩阵定理）
设A为nxn矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的A，他们同时为真或同时为假。
a. A是可逆矩阵
b. A等价于nxn单位矩阵
c. A有n个主元位置
d. 方程Ax=0仅有平凡解
e. A的各列线性无关
f. 线性变换x \mapsto Ax是一对一的。
g. 对R^n中任意b,方程Ax=b至少有一个解。
h. A的各列生成R^n。
i. 线性变换x \mapsto Ax把R^n映射到R^n
j. 存在nxn矩阵C使CA=I
k. 存在nxn矩阵D使AD=I
l. A^T是可逆矩阵设A和B为方针，若AB=I,则A和B都是可逆的，且B=A^{-1},A=B^{-1}。
可逆线性变换
线性变换T:R^n \rightarrow R^n称为可逆的，若存在函数S:R^n \rightarrow R^n使得：
对所有R^n中的x,S(T(x))=x \tag{1}
对所有R^n中的x,T(S(x))=x \tag{2}
下列定理说明若这样的S存在，它是唯一的而且鄙视线性变换。我们称S是T的逆，把它写成T^{-1}。
定理9 设T:R^n \rightarrow R^n为线性变换，A为T的标准矩阵。则T可逆当且仅当A是可逆矩阵，这时由S(x)=A^{-1}x定义的线性变换S是满足(1)和（2）的唯一函数。