2.4 分块矩阵
我们既可以把矩阵看做一个数的矩形表，也可以把它看做一组列向量，后面这种看法齐了很重要的作用，因而，我们想考虑A的其他分块，把它用水平线和竖直线分成几块，如下面利益所示。分块矩阵也出现在线性代数的现代应用中，因为这些记号简化了许多讨论，并使矩阵计算中许多本质的结构显露出来。
例1 矩阵
\left[\begin{array}{rrr|rr|r}
3&0&-1&5&9&-2\\
-5&2&4&0&-3&1\\ \hline
-8&-6&3&1&7&-4
\end{array}\right]
也可以写成2×3分块矩阵
\begin{bmatrix}
A_{11}&A_{12}&A_{13}\\
A_{21}&A_{22}&A_{23}
\end{bmatrix}
的形状，他的元素是分块（或子矩阵）
A_{11}=\left[\begin{array}{rrr}
3&0&-1\
-5&2&4
\end{array}\right]
,
A_{12}=
\left[\begin{array}{rrr}
5&9\
0&-3
\end{array}\right]
,
A_{13}=
\left[\begin{array}{rrr}
-2\
1
\end{array}\right]
A_{21}=\left[\begin{array}{rrr}
-8&-6&3\
\end{array}\right]
,
A_{22}=
\left[\begin{array}{rrr}
1&7
\end{array}\right]
,
A_{23}=
\left[\begin{array}{rrr}
-4
\end{array}\right]
加法与标量乘法
若矩阵A与B有相同维数且被同样地分块，则自然矩阵的和A+B也被同样地分块。这是A+B的每一块恰好是A和B对应分块的(矩阵)和。分块矩阵乘以一个数也可以逐块计算。
分块矩阵的乘法
分块矩阵也可以用通常行列法则进行，就如每一块都是数一样，只要A的列的分发与B的行的分法一致。
定理10 (AB的列行展开)
若A是mxn矩阵，B是nxp矩阵，则
col_1(A)&col_2(A)&\dots&col_n(A)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
row_1(B)\\
row_2(B)\\
\vdots\\
row_n(B)
\end{bmatrix} \tag{1}
分块矩阵的逆
例5 形如A=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}的矩阵成为分块上三角矩阵，设A_{11}是pxp矩阵，A_{22}是qxq矩阵，且A为可逆矩阵，求A^{-1}的表达式。
解 用B表示A^{-1}且把它分块使
A_{11}&A_{12}\\
0&A_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
B_{11}&B_{12}\\
B_{21}&B_{22}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
I_p&0\\
0&I_q
\end{bmatrix} \tag{2}
这个矩阵方程包含了4个有关未知子矩阵B_{11},\dots,B_{22}的方程，计算(2)式左边的乘积得：
方程(6)本身并不能说明A_{22}可逆，因我们还不知道B_{22}A_{22}=I_q,但应用可逆矩阵定理，及A_{22}是仿真的事实，可以断定，A_{22}为可逆且B_{22}=A^{-1}_{22}。现在，我们利用（5）式求得
因此（3）式简化为
这说明A_{11}是可逆的，且B_{11}=A^{-1}_{11}，最后，由（4）
和
于是
A_{11}&A_{12}\\
0&A_{22}
\end{bmatrix}^{-1}=
A^{-1}=\begin{bmatrix}
A_{11}^{-1}&-A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1}\\
0&A_{22}^{-1}
\end{bmatrix}^{-1}
分块对角矩阵是一个分块矩阵，除了主对角线上各分块外，其余全是零分块，这样的一个矩阵是可逆的当且仅当主对角线上各分块都是可逆的。