2.5 矩阵因式分解
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矩阵A的因式分解是把A表示为两个或更多个矩阵的乘积，矩阵乘法是数据的综合（把两个或更多个线性变换的作用结合成一个矩阵）,矩阵因式分解是数据的分解，在计算机科学的语言部分，将A表示为矩阵的乘积是对A中数据的预处理，把这些数据组成两个或更多部分，这种结构可能更有用，或者更便于计算。
矩阵的因式分解，以及以后的线性变换的分解将在许多关键地方出现。
LU分解
设A是mxn矩阵可以行化简为阶梯形而不必行对换（此后，我们将处理一般情形），则A可写成形式A=LU,L是mxm下三角矩阵，主对角线元素全是1，U是A的一个等价的mxn阶梯形矩阵.见下图，这样一个分解称为LU分解，矩阵L是可逆的，称为单位下三角矩阵
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
\ast&1&0&0\\
\ast&\ast&1&0\\
\ast&\ast&\ast&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\blacksquare&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&\blacksquare&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&\blacksquare&\ast\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}
在研究如何构造L和U之前，我们将看看他们为什么这么有用。当A=LU时，方程Ax=b可写成L(Ux)=b，把Ux写成y，可以由解下面一堆方程来求解x:
首先解Ly=b,然后解Ux=y求得x,没个方程都比较容易解，因为L和U都是三角矩阵。
LU分解的计算效率依赖于如何求L和U
LU分解算法
设A可以化为阶梯形U。化简过程中仅用行倍加变换，即把一行的倍数加于它下面的另一行。这样，存在单位下三角初等矩阵E_1,\dots,E_p使
于是
其中
可以证明，单位下三角矩阵的逆也是单位下三角矩阵，于是L是单位下三角矩阵
注意（3）中的行变换，它把A化为U，所以也把（4）中的L化为I，因
这一点是构造L的关键。
LU分解的算法
1. 如果可能的话，用一些列的倍加变换把A化为阶梯形
2. 填充L的元素使相同的行变换把L变为I
电子工程中的矩阵因式分解
下图中的方框表示某种电路，具有输入与输出。用\begin{bmatrix}v_1\\i_1\end{bmatrix}表示输入电压与电流（电压以伏特为单位，电流用安培为单位），输入出电压与电流为\begin{bmatrix}v_2\\i_2\end{bmatrix},通常，变换\begin{bmatrix}v_1\\i_1\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}v_2\\i_2\end{bmatrix}为线性的，也就是说，存在矩阵A，成为传递矩阵，使
v_2\\
i_2
\end{bmatrix}=
A\begin{bmatrix}
v_1\\
i_1\\
\end{bmatrix}
下图表示梯级网络，他有两个回路（也可以更多），他们串联起来，所以第一个电路的输出是第二个电路的输入。左边的电路称为串联电路，具有电阻R_1（单位为欧姆），有端的电路称为并联电路，有电阻R_2，应用欧姆定律，可以证明串联电路与并联电路的传递矩阵为
1&-R_1\\
0&1
\end{array}
\right]
串联电路的传递矩阵
1&0\\
-\frac{1}{R_2}&1
\end{array}
\right]
并联电路的传递矩阵
