设某国的经济体系分为n个部门，这些部门生产商品和服务。设x为R^n中产出向量，它列出了每一部门一年中的产出。同时，设经济体系的另一部分（称为开放部门）不生产产品或服务，仅仅消费商品或服务，d为最终需求向量,它列出经济体系中的各种非生产部门所需求的商品或服务。此向量代表消费者需求、政府消费、超额生产、出口或其它外部需求
由于各部门生产商品已满足消费者需求，生产者本身创造了中间需求，需要这些产品作为生产部门的投入，部门之间的关系很复杂，而生产和最后需求之间的联系也还不清楚。列昂惕夫思考是否存在某一生产水平恰好满足这一生产水平的总需求（x称为供给）,那么

列昂惕夫的投入产出模型的基本假设是，对每个部门，有一单位消费向量，它列出了该部门的单位产出所需的投入。所有的投入与产出都已百万美元作为单位，而不用具体的单位如吨等（假设商品和服务的价格为常数）

定理 11　设C为某一经济的消耗矩阵，d为最终需求。若C和d的元素非负，C的每一列的和小于1，则(I-C)^{-1}存在，而产出向量

x=(I-C)^{-1}d

有非负元素，且是下列方程的唯一解

x=Cx+d

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Filed under: 数学,线性代数,线性代数及其应用 - @ 2021年4月13日 下午12:58