2.8 R^n的子空间
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本节讨论R^n中重要的向量子集，称为子空间。通常子空间与某个矩阵A有关，他们提供了关于方程Ax=b的有用信息。
定义 R^n中的一个子空间是R^n中的集合H，具有以下三个性质：
a. 零向量属于H
b. 对H中任意的向量u和v,u+v属于H
c. 对H中任意向量u和数c,cu属于H
换句话说，子空间对加法和标量乘法运算是封闭的
矩阵的列空间与零空间
定义 矩阵A的列空间是A的各列的线性组合的集合，记作ColA。
若A=\begin{bmatrix}a_1 \dots a_n\end{bmatrix},他们各列属于R^m，则ColA和Span\{a_1,\dots,a_n\}相同,例4说明mxn矩阵的列空间是R^m的子空间。注意，仅当A的列生成R^m时，ColA等于R^m。否则，ColA仅是R^m的一部分。
例 4 设A=
\left[\begin{array}{rrr}1&-3&4\\-4&6&-2\\-3&7&6\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{r}3\\3\\-4\end{array}\right],确定b是否属于A的列空间。
解 向量b是A的各列的线性组合，当且仅当b可写成Ax的形势，x属于R^3,也就是说，当且仅当方程Ax=b有解，把增广矩阵\begin{bmatrix}A&b\end{bmatrix}进行变换：
定义 矩阵A的零空间是齐次方程Ax=0的所有解的集合，记为NulA。
当A有n列时，Ax=0的解属于R^n,A的零空间是R^n的子集，事实上，NulA具有R^n的子空间的性质。
定理 12 mxn矩阵A的零空间是R^n的子空间。等价地，n个未知数的m个齐次线性方程的解的全体是R^n的子空间
子空间的基
因为子空间一般含有无穷多个向量，子空间中的问题最好能够通过研究生成这个子空间的一个小的有限集合来解决，这个集合越小越好。可以证明，最小可能的生成集合必是线性无关的。
定义 R^n中子空间H的一组基是H中一个线性无关集，它生成H。
例 5 可逆nxn矩阵的各列构成R^n的一组基。因为他们线性无关，而且生成R^n,这由逆矩阵定理可知，一个这样的矩阵是nxn单位矩阵，他的各列用e_1,\dots,e_n表示：
1\\0\\\vdots\\0
\end{bmatrix},
e_2=\begin{bmatrix}
0\\1\\\vdots\\0
\end{bmatrix}, \dots ,
e_n=\begin{bmatrix}
0\\0\\\vdots\\1
\end{bmatrix}
\{e_1,\dots,e_n\}称为R^n的标准基。
下例说明，求出方程Ax=0的解的参数向量形式实际上是确定NulA的基
例6 求出下列矩阵的零空间的基
-3&6&-1&1&-7\\
1&-2&2&3&-1\\
2&-4&5&8&-4
\end{array}\right]
解 首先把方程Ax=0的解写成参数向量形式
\left[\begin{array}{rrrrr}
1&-2&0&-1&3&0\\
0&0&1&2&-2&0\\
0&0&0&0&0&0
\end{array}\right]
x_1-2x_2-x_4+3x_5=0\\
x_3+2x_4-2x_5=0\\
0=0
\end{cases}
通解为x_1=2x_2+x_4-3x+5,x_3=-2x_4+2x_5,x_2,x_4,x_5为自由变量。
x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2x_1+x_4-3x_5\\
x_2\\
-2x_4+2x_5\\
x_4\\
x_5\\
\end{bmatrix}
x_2\underbrace{\left[\begin{array}{r}
2\\1\\0\\0\\0
\end{array}\right]}_u
+x_4\underbrace{\left[\begin{array}{r}
1\\0\\-2\\1\\0
\end{array}\right]}_v
+
x_5\underbrace{\left[\begin{array}{r}
-3\\0\\2\\0\\1
\end{array}\right]}_w \tag{1}
方程(1)说明NulA与u,v,w的所有线性组合的集合是一致的,即\{u,v,w\}生成Nul A，事实上，u,v,w的构造保证了他们线性无关，因为(1)式说明，
仅当权x_2,x_4,x_5等于零则成立，因此\{u,v,w\}是Nul A的一组基。
定理13矩阵A的主元列构成列空间的基。