2.9 维数与秩
坐标系
选择子空间H的一个基代替一个纯粹生成集的主要原因，是H中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一形式。为了明确原因，假设\beta=\{b_1,\dots,b_p\}是H的基，H中的一个向量x可以由两种方式生成，设
x=c_1b_1+\dots+c_pb_p,且x=d_1b_1+\dots+d_pb_p \tag{1}
则相减得到
0=x-x=(c_1-d_1)b_1+\dots+(c_p-d_p)b_p \tag{2}
定义 假设\beta=\{b_1,\dots,b_p\}是子空间H的一组基，对H中的每一个向量x,相对于基\beta的坐标是使x=c_1b_1+\dots+c_pb_p成立的权值c_1,\dots,c_p,且R^p中的向量
\begin{bmatrix}
x
\end{bmatrix}_\beta=
\begin{bmatrix}
c_1\\
\vdots\\
c_p
\end{bmatrix}
x
\end{bmatrix}_\beta=
\begin{bmatrix}
c_1\\
\vdots\\
c_p
\end{bmatrix}
称为x(相对于\beta)的坐标向量，或x的\beta-坐标向量
子空间的维数
可以证明，若子空间H有一组基包含p个向量，则H的每个基都正好包含p个向量
定义 非零子空间H的维数,用dimH表示，是H的任意一个基的向量个数，零子空间{0}的维数定义为零
定义 矩阵A的秩(记为rankA)是A的列空间的维数
因为A的主元列形成ColA的一个基，A的秩正好是A的主元列的个数定理14 秩定理
如果一矩阵A有n列，则rankA+dimNulA=n定理15 基定理
设H是R^m的p维子空间，H中的任何恰好由p个成员组成的线性无关集构成H的一个基。并且，H中任何生成H的p个向量集也构成H的一个基。
#秩与可逆矩阵定理
定理 可逆矩阵定理(续)
设A是一nxn矩阵，则下面的没个命题与A是可逆矩阵的命题等价：
m. A的列向量构成R^n的一个基
n. ColA=R^n
o. dimColA=n
p. rankA=n
q. NulA={0}
r. dimNulA=0