定义　当n \geq2,nxn矩阵A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}的行列式是形如\pm a_{1j}detA_{1j}的n个项的和，其中加号和减号交替出现，这里元素a_{11},a_{12},\dots,a_{1n}来自A的第一行，即

detA=a_12\cdot detA_{11}-a_{12}\cdot detA_{12}+\dots+(-1)^{1+n}a_{1n}\cdot >detA_{1n}

=\sum_{j=1}^n(-1)^{1+j}a_{1j}detA_{1j}

为了叙述下一定理，将detA的定义用稍微不同的形势写出诗很方便的。给定A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix},A的（i,j）余因子$C_{ij}$由下式给出

则detA=a_{11}\cdot C_{11}+a_{12}\cdot C_{12}+\dots+a_{1n}\cdot C_{1n}
这个公式称为按A的第一行的余因子展开式

定理1 mxm矩阵A的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算。按第i行展开用(4)式给出的余因子写法可以写成：

detA=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\dots+a_{in}C_{in}

按第J列的余因子展开式为

detA=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\dots+a_{nj}C_{nj}

（i,j）位置的余因子中加号或减号取决于a_{ij}在矩阵中的位置，而与a_{ij}本身的符号无关

定理2 若A为三角阵，则detA等于A的主对角线上元素的乘积

Filed under: 数学,线性代数,线性代数及其应用 - @ 2021年4月14日 下午9:50