3.2 行列式的性质
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行列式的奥秘在于当做行变换时，它如何变化
定理3 行变换
令A是一个方阵
a. 若A的某一行的倍数加到另一行得矩阵B，则\det B=\det A
b. 若A的两行互换得矩阵B,则\det B=-\det A
c. 若A的某行乘以k倍得到矩阵B，则detB=k\cdot \det A定理4 方阵A是可逆的当且仅当\det A \neq 0
一个有用的推论是若A的列时线性相关的，则\det A=0.而且若A的行是线性相关的，则\det A=0。(A的行是A^T的列，由A^T的列线性相关可推出A^T是奇异的。当A^T是奇异矩阵时，由可逆矩阵定理可知，A也是奇异的)
列变换
定理5 若A为一个nxn矩阵，则\det A^T=\det A
行列式与矩阵乘积
定理6 乘法的性质
若A和B均为nxn矩阵，则\det AB=(\det A)(\det B)
{\color{red} 警告 一般而言\det (A+B)不等于\det A+ \det B}
行列式函数的一个线性性质
我们称一个初等矩阵E是一个行倍加(矩阵)，如果E是由单位矩阵I经一行加另一行的倍加而得到；称E是一个交换，如果E是由交换I的两行而得到；称E是一个r倍乘，如果E是由I的某一行乘以一个非零数量而得到。
定理3可重新叙述如下：
若A是一个nxn矩阵，E是一个nxn初等矩阵，则
\det EA=(\det E)(\det A)
这里
\begin{cases}
\det E=
1,{\text {若E是一个行倍加}}\\
-1,{\text{若E是一个交换}}\\
r,{\text{若E是一个r倍乘}}
\end{cases}
\det E=
1,{\text {若E是一个行倍加}}\\
-1,{\text{若E是一个交换}}\\
r,{\text{若E是一个r倍乘}}
\end{cases}