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克拉默法则在各种理论计算中是必需的，例如，它被用来研究 $Ax=b$ 的解受b中数值的变化而受到什么样的影响。然而这个公式对手算是没有多大效果的，除非是2×2或3×3矩阵。
对任意nxn矩阵A和任意的 $R^n$ 中向量b,令 $A_i(b)$ 表示A中第i列由向量b替换得到的矩阵

A_i(b)=\begin{bmatrix} a_1&\dots&\underbrace{b}_{第i列}&\dots&a_n \end{bmatrix}

定理7　克拉默法则
设A是一个可逆的nxn矩阵，对 $R^n$ 中任意向量b,方程 $Ax=b$ 的唯一解可由下式给出
$x_i=\frac{\det A_i(b)}{\det A},i=1,2,\dots,n \tag{1}$

一个求A^{-1}的公式

克拉默法则可以容易的导出一个求nxn矩阵A的逆的一般公式。 $A^{-1}$ 的第j列时一个向量x,满足

Ax=e_j

此处 $e_j$ 是单位矩阵的第j列，x的第i个数值是 $A^{-1}$ 中(i，j)位置的数值，由克拉默法则

\{A^{-1}中(i,j)元素\}=x_i=\frac{\det A_i(e_j)}{\det A} \tag{2}

回想起 $A_{ji}$ 表示A的子矩阵，它由A去掉第j行和第i行得到. $A_i(e_j)$ 按第i列的余因子展开式为

\det A_i(e_j)=(-1)^{i+j}\det A_{ji}=C_{ji} \tag{3}

这里 $C_{ji}$ 是A的一个余因子，由(2), $A^{-1}$ 的（i,j）元素等于余因子 $C_{ji}$ 除以 $\det A$ .（注意： $C_{ji}$ 的下表是(i,j)的颠倒）于是

A^{-1}=\frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} C_{11}&C_{21}& \dots &C_{n1}\\ C_{12}&C_{22}&\dots & C_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ C_{1n}&C_{2n}&\dots & C_{nn}\\ \end{bmatrix} \tag4

公式（4）右边的余因子的矩阵成为A的伴随矩阵，记为adj A。(伴随这个术语在后面的线性变换课程中还有另一层意思)

定理8 逆矩阵公式
设A是一个可逆的nxn矩阵，则 $A^{-1}=\frac{1}{\det A}adj A$

#用行列式表示面积或体积

定理9 若A是一个2×2矩阵，则由A的列确定的平行四边形的面积为 $|\det A|$ ,若A是一个3×3矩阵，则由A得列确定的平行六面体的体积为 $|\det A|$

设 $a_1$ 和 $a_2$ 为非零向量，则对任意数c,有 $a_1$ 和 $a_2$ 确定的平行四边形的面积等于由 $a_1$ 和 $a_2+ca_1$ 确定的平行四边形的面积

线性变换

行列式可用于描述平面和 $R^3$ 中线性变换的一个重要的几何性质。若T是一个线性变换，S是T的定义域内的一个集合，用 $T(S)$ 表示S中点的像集。

定理10　设 $T:R^2 \mapsto R^2$ 是由一个2×2矩阵A确定的线性变换，若S是 $R^2$ 中一个平行四边形，则

\{T(s)的面积\}=|\det A|\cdot\{S的面积\} \tag{5}

若T是一个由3×3矩阵A确定的线性变换，而S是 $R^3$ 中的一个平行六面体，则

\{T(S)的体积\}=|\det A|\cdot\{S的体积\} \tag{6}

Filed under: 数学,线性代数,线性代数及其应用 - @ 2021年4月15日下午6:45