4.1 向量空间与子空间
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定义 一个向量空间是由一些被称为向量的对象构成的非空集合V，在这个集合上定义两个运算，称为加法和标量乘法（标量取实数），服从以下公里（或法则），这些公理必须对V中所有向量u,v,w及所有标量c和d均成立。
1. u,v之和表示为u+v，仍在V中
2. u+v=v+u
3. (u+v)+w=u+(v+w)
4. V中存在一个零向量0，使得u+0=u
5. 对V中每个向量u，存在V中向量-u，使得u+(-u)=0
6. u与标量c的标量乘法记为cu,仍在V中
7. c(u+v)=cu+cv
8. (c+d)u=cu+du
9. c(du)=(cd)u
10. 1u=u
公理5中向量-u称为u的负向量,也是唯一的.
对V中没个向量u和任意标量c,有
子空间
定义 向量空间V的一个子空间是V的一个满足以下三个性质的子集H：
a. V中的零向量在H中
b. H对向量加法封闭，即对H中任意向量u,v和u+v仍在H中
c. H对标量乘法封闭，即对H中任意向量u和任意标量c,向量cu仍在H中
例8 向量空间R^2不是R^3的子空间，因为R^2甚至不是R^3的子集（R^3中的向量有3个分量，而R^2中的向量仅有两份分量）
由一个集合生成的子空间
线性组合这个词表示一些向量的任意标量乘法之和，Span\{v_1,\dots,v_p\}表示所有可以表示成v_1,\dots,v_p的线性组合的向量集合
定理1 若v_1,\dots,v_p在向量空间V中，则Span\{v_1,\dots,v_p\}是V的一个子空间
我们称Span\{v_1,\dots,v_p\}是由v_1,\dots,v_p生成(或张成)的子空间，任给V的子空间H，H的生成(或张成)集是集合v_1,\dots,v_p \subset H,使得H=Span\{v_1,\dots,v_p\}