4.3 线性无关集和基
Contents
V中向量的一个指标集\{v_1,\dots,v_p\}称为是线性无关的，如果向量方程
只有平凡解，即c_1=0,\dots,c_p=0
集合\{v_1,\dots,v_p\}称为线性相关,如果(1)有一个非平凡解，即存在某些权c_1,\dots,c_p不全为0，使得（1）式成立，此时(1)式称为v_1,\dots,v_p之间的一个线性相关关系。
与R^n中一样，一个仅含一个向量v的集是线性无关的当且仅当v \neq 0；一个仅含两个向量的集合是线性相关的当且仅当其中一个向量是另一个的倍数；任何含有零向量的集合是线性相关的。
定理4 不少于两个有编号的向量的集合\{v_1,\dots,v_p\},如果有v_1 \neq 0，则\{v_1,\dots,v_p\}是线性相关的，当且仅当某v_j(j>1)是其前面向量v_1,\dots,v_{j-1}的线性组合
一般向量空间中的线性相关与R^n中的线性相关的主要不同点在于向量不是n元数组时，齐次方程(1)通常不能被写成一个n元线性方程组。换句话说，为了研究方程Ax=0，向量不能从一个矩阵A的列中得到，取而代之的是我们必须要依靠线性相关的定义和定理4。
定义 令H是向量空间V的一个子空间，V中向量的指标集\beta=\{b_1,\dots,b_p\}称为H的一个基，如果
(1) \beta时一线性无关集
(2) 由\beta生成的子空间与H相同，即H=Span\{b_1,\dots,b_p\}
生成集定理
一个基是一个不包含不必要的向量的“高效率”的生成集。事实上，一个基可以通过由一个生成集中去掉不需要的向量构造出来。
定理5 （生成集定理）
令S=\{v_1,\dots,v_p\}是V中的向量集，H=Span\{v_1,\dots,v_p\}
a. 若S中某一个向量，比如说v_k，是S中其余向量的线性组合，则S中去掉V_k后形成的集合仍然可以生成H.
b. 若H \neq \{0\},则S的某一子集是H的一个基。
NulA和ColA的基
定理6 矩阵A的主元列构成ColA的一个基
关于基的两点观察
使用生成集定理时，从生成集中删除向量，当集合编程线性无关时必须停止，因为如果再多删一个向量，该向量将不是剩下向量的线性组合，从而这个较小的集合将不再生成V，所以一个基是一个尽可能小的生成集。
基还是尽可能大的线性无关集，若S是V的一个基，在S中再添加进一个新的向量。比如从V中取一个w,则新的集合不再是线性无关了，这是因为S生成V，因此w是S中元素的线性组合。