1.4 矩阵方程Ax=b
Contents
线性代数中的一个基本思想是把向量的线性组合看做矩阵与向量的积。
定义 若A是mxn矩阵，它的各列为a_1,a_2,\dots,a_n。若x是R^n中向量，则A与x的积，记为Ax，就是A的各列以x中对应元素为权的线性组合，即
Ax=\begin{bmatrix}
a_1&a_2&\dots&a_n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\\vdots\\x_n
\end{bmatrix}
=x_1a_1+x_2a_2+\dots+x_na_n注意Ax仅当A的列数等于x中元素个数时才有定义
定理3 若A是mxn矩阵，它的各列为a_1,a_2,\dots,a_n，而b属于R^m,则矩阵方程
Ax=b与向量方程
x_1a_1+x_2a_2+\dots+x_na_n=b有相同的解集，它又与增广矩阵为
\begin{bmatrix}
a_1&a_2&\dots&a_n&b
\end{bmatrix}的线性方程组有相同的解集
解的存在性
方程Ax=b有解当且仅当b是A的各列的线性组合。
定理4 设A是mxn矩阵，则下列命题是逻辑上等价的，也就是说，对某个A，他们都成立或者都不成立。
a. 对R^m中每个b，方程Ax=b有解。
b. R^m中的每个b都是A的列的一个线性组合。
c. A的各列生成R^m
d. A在每一行都有一个主元位置
警告 定理4讨论的是系数矩阵，而非增广矩阵，若增广矩阵\begin{bmatrix}A&b\end{bmatrix}在每一行都有主元位置，方程Ax=b可能相容，也可能不相容。
Ax的计算
计算Ax的行——向量规则
若乘积Ax有定义，则Ax中的第i个元素是A的第i行元素与x的相应元素乘积之和
矩阵-向量积Ax的性质
定理5 若A是mxn矩阵，u和v是R^n中向量，c是标量，则
a. A(u+v)=Au+Av
b. A(cu)=c(Au)