1.2 行化简与阶梯型矩阵
在以下定义中，非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列，非零行的先导元素是指该行中最左边的非零元素。
阶梯形（或行阶梯形）定义
一个矩阵成为阶梯形（或行阶梯形），若它有以下三个性质：
1. 每一非零行在每一零行之上。
2. 每一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右面
3. 每一先导元素所在的列位下方元素都是零简化阶梯形定义
若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，称它为简化阶梯形（或简化行阶梯形）
4.每一非零行的先导元素是1
5.每一先到元素1是该元素所在列的唯一非零元素
下列矩阵是阶梯形，先导元素用\blacksquare表示，他们可取任意的非零值，在\ast位置的元素可取任意值，包括零值
\begin{bmatrix}
0&\blacksquare&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&\blacksquare&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&0&\blacksquare&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&0&0&\blacksquare&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&0&0&0&0&0&\blacksquare&\ast\\
\end{bmatrix}
0&\blacksquare&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&\blacksquare&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&0&\blacksquare&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&0&0&\blacksquare&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&0&0&0&0&0&\blacksquare&\ast\\
\end{bmatrix}
以下为简化阶梯形
\begin{bmatrix}
0&1&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&1&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&0&1&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&0&0&1&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&0&0&0&0&0&1&\ast\\
\end{bmatrix}
0&1&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&1&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&0&1&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&0&0&1&\ast&\ast&\ast&\ast\\
0&0&0&0&0&0&0&0&1&\ast\\
\end{bmatrix}
定理1 （简化阶梯形矩阵的唯一性）
每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵
主元位置
主元位置的定义
矩阵中的主元位置是A中对应于他的阶梯形中先导元素的位置。主元列是A的含有主元位置的列
线性方程组的解
假设一个线性方程组的增广矩阵已经化为等价的简化阶梯形
\begin{bmatrix}
1&0&-5&1\\
0&1&1&4\\
0&0&0&0\\
\end{bmatrix}
1&0&-5&1\\
0&1&1&4\\
0&0&0&0\\
\end{bmatrix}
因为增广矩阵有4列，所以有3个未知数，对应的线性方程组是
\begin{cases}
x_1 -5x_3=1\\
x_2+x_3=4\\
0=0\\
\end{cases}
x_1 -5x_3=1\\
x_2+x_3=4\\
0=0\\
\end{cases}
对应于主元列的变量x_1和x_2称为基本变量，其他变量如x_3，称为自由变量。方程组的每个解由x_3的值的选择来决定
\begin{cases}
x_1=1+5x_3\\
x_2=4-x_3\\
x_3是自由变量\\\tag{3}
\end{cases}
x_1=1+5x_3\\
x_2=4-x_3\\
x_3是自由变量\\\tag{3}
\end{cases}
解集的表达式（3）称为解集的参数表示，其中自由变量做为参数，解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解