4.5 向量空间的维数

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1 有限维空间的子空间
2 Nul A和Col A的维数

定理9　若向量空间 $V$ 具有一组基 $\beta=\{b_1,\dots,b_n\}$ ,则 $V$ 中任意包含多于 $n$ 个向量的集合一定线性相关

定理10　若向量空间 $V$ 有一组基含有 $n$ 个向量，则 $V$ 的每一组基一定恰好含有n个向量。

定义　若 $V$ 由一个有限集生成，则 $V$ 称为有限维的， $V$ 的维数写成 $\dim V$ ,是 $V$ 的基中含有向量的个数，零向量空间 $\{0\}$ 的维数定义为零。如果 $V$ 不是由一有限集生成，则V称为无穷维的。

有限维空间的子空间

定理11　令H是有限维向量空间V的子空间，若有需要的话，H中任一个线性无关集均可以扩成为H的一个基，H也是有限维的并且
$\dim H \le \dim V$
定理12 （基定理）
令 $V$ 是一个 $p$ 维向量空间， $p \le 1$ , $V$ 中任一含有 $p$ 个元素的线性无关集必然是 $V$ 的一个基,任意含有 $p$ 个元素且生成 $V$ 的集合必然是 $V$ 的一个基

Nul A和Col A的维数

由于矩阵A的主元列构成Col A的一个基，我们一旦知道主元列，就知道了ColA的维数

NulA的维数是方程Ax=0中自由变量的个数，ColA的维数是A中主元列的个数

Filed under: 数学,线性代数,线性代数及其应用 - @ 2021年5月8日下午9:01