4.6 秩

行空间

若A是一个mxn矩阵，A的每一行具有n个数字，即可以视为R^n中一个向量。其行向量的所有线性组合的集合称为A的行空间，记为Row A。由于每一行具有n个数，所以Row A是R^n的一个子空间，因为A的行与A^T的列相同，我们也可以用ColA^T代替Row A。

定理13　若两个矩阵A和B行等价，则他们的行空间相同。若B是阶梯型矩阵，则B的非零行构成A的行空间的一个基的同事也是B的行空间的一个基

例2　分别求矩阵A的行空间、列空间和零空间的基。

A=\left[\begin{array}{rrrrr}
-2&-5&8&0&-7\\
1&3&-5&1&5\\
3&11&-19&7&1\\
1&7&-13&5&-3\\
\end{array}\right]

解 为了求行空间和列空间的基，行化简A成阶梯形：

A \sim B=\left[\begin{array}{rrrrr}
1&3&-5&1&5\\
0&1&-2&2&-7\\
0&0&0&-4&20\\
0&0&0&0&0\\
\end{array}\right]

有定理13，B的前三行构成A的行空间的一个基（也是B的行空间的基），从而

Row A的基：\{(1,3,-5,1,5),(0,1,-2,2,-7),(0,0,0,-4,20)\}

对列空间，观察B，住院列在第1,2和4列，从而A的第1,2,4列（不是B的）构成ColA的一个基。

Col A的基：\left[\begin{array}{r}-2\\1\\3\\1\end{array}\right],
\left[\begin{array}{r}-5\\3\\11\\7\end{array}\right],
\left[\begin{array}{r}0\\1\\7\\5\end{array}\right]

注意到A的任何阶梯形提供（在它的非零行）Row A的一个基同时对Col A确定了A的主元列。
然而对Nul A,则需要简化阶梯形，则B进一步行变换的：

A \sim B \sim C=\left[\begin{array}{rrrrr}
1&0&1&0&1\\
0&1&-2&0&3\\
0&0&0&1&-5\\
0&0&0&0&0\\
\end{array}\right]

方程Ax=0等价于Cx=0,即

\begin{cases}
x_1+x_3+x_5=0\\
x_2-2x_3+3x_5=0\\
x_4-5x_5=0
\end{cases}

所以x_1=-x_3-x_5,x_2=2x_3-3x_5,x_4=5x_5,x_3和x_5为自由变量，通常的计算表明：

Nul A的基：\left[\begin{array}{r}-1\\2\\1\\0\\0\end{array}\right],
\left[\begin{array}{r}-1\\-3\\0\\5\\1\end{array}\right]

通过观察课件，与Col A的基不同，Row A和Nul A的基于A中的数没有简单的联系。

{\color{red} **警告**　在例2中，尽管B的前三行是线性无关的，但由此推断说A的前三行是线性无关则是错误的（事实上A的第三行等于2倍的第一行加上7倍的第二行），行变换对矩阵的行不保持线性相关关系}

秩定理

定义　A的秩即A的列空间的维数

由于Row A与 ColA^T相同，则A的行空间的维数等于A^T的秩，零空间的维数有时被称为A的零维。

定理14 （秩定理）
mxn矩阵A的列空间和行空间的维数相等，这个公共的维数(即A的秩)还等于A的主元位置的个数且满足方程

rank A+\dim NulA=n

秩和可逆矩阵定理

定理　(可逆矩阵定理(续))
令A是一个nxn矩阵，则下列的命题中的每个均等价于A是可逆矩阵：
m.　A的列构成R^n的一个基
n.　ColA=R^n
o.　\dim ColA=n
p.　rankA=n
q.　Nul A=\{0\}
r.　\dim NulA=0

Filed under: 数学,线性代数,线性代数及其应用 - @ 2021年5月8日 下午10:04