4.6 秩
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行空间
若A是一个mxn矩阵,A的每一行具有n个数字,即可以视为Rn中一个向量。其行向量的所有线性组合的集合称为A的行空间,记为Row A。由于每一行具有n个数,所以Row A是Rn的一个子空间,因为A的行与AT的列相同,我们也可以用ColAT代替Row A。
定理13 若两个矩阵A和B行等价,则他们的行空间相同。若B是阶梯型矩阵,则B的非零行构成A的行空间的一个基的同事也是B的行空间的一个基
例2 分别求矩阵A的行空间、列空间和零空间的基。
解 为了求行空间和列空间的基,行化简A成阶梯形:
有定理13,B的前三行构成A的行空间的一个基(也是B的行空间的基),从而
对列空间,观察B,住院列在第1,2和4列,从而A的第1,2,4列(不是B的)构成ColA的一个基。
注意到A的任何阶梯形提供(在它的非零行)Row A的一个基同时对Col A确定了A的主元列。
然而对Nul A,则需要简化阶梯形,则B进一步行变换的:
方程Ax=0等价于Cx=0,即
所以x1=−x3−x5,x2=2x3−3x5,x4=5x5,x3和x5为自由变量,通常的计算表明:
通过观察课件,与Col A的基不同,Row A和Nul A的基于A中的数没有简单的联系。
秩定理
定义 A的秩即A的列空间的维数
由于RowA与 ColAT相同,则A的行空间的维数等于AT的秩,零空间的维数有时被称为A的零维。
定理14 (秩定理)
mxn矩阵A的列空间和行空间的维数相等,这个公共的维数(即A的秩)还等于A的主元位置的个数且满足方程
秩和可逆矩阵定理
定理 (可逆矩阵定理(续))
令A是一个nxn矩阵,则下列的命题中的每个均等价于A是可逆矩阵:
m. A的列构成Rn的一个基
n. ColA=Rn
o. dimColA=n
p. rankA=n
q. NulA={0}
r. dimNulA=0