尽管变换$x \mapsto Ax$有可能使向量往各个方向移动，但通常会有某些特殊向量，A对这些向量的作用是很简单的
这一节，我们将研究形如$Ax=2x或Ax=-4$的方程，并且去寻找那些被A变换成自身一个数量倍的向量。

定义　$A$为nxn矩阵，$x$为非零向量，若存在数$\lambda$使$Ax=\lambda x$成立，则称$\lambda$为$A$的特征值，$x$成为对应于$\lambda$的特征向量。

$\lambda$是$A$的特征值当且仅当方程

有非平凡解。方程(3)的所有解的集合就是矩阵$A-\lambda I$的零空间。因此，该集合是$R^n$的子空间，称为A的对应于$\lambda$的特征空间。特征空间由零向量和所有对应于$\lambda$的特征向量组成。

每个特征空间的几何意义：

定理1　三角矩阵的主对角线的元素是其特征值

定理2　$\lambda_1,\dots,\lambda_r$是nxn矩阵$A$相异的特征值，$v_1,\dots,v_r$是与$\lambda_1,\dots,\lambda_r$对应的特征向量，那么向量集合$\{v_1,\dots,v_r\}$线性无关。

特征向量与差分方程

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Filed under: 数学,线性代数,线性代数及其应用 - @ 2021年5月11日 下午2:32