5.5 复特征值
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nxn矩阵的特征方程含有n次多项式，如果考虑复根，方程恰好有n个根，重根重复计算。让A作用于n维复空间C^n中的n元复数。
对复特征值的研究能使我们去揭示各种实际生活问题中出现的某些实矩阵中隐藏的信息，这些问题包括很多蕴涵周期运动的实动力系统、振动或空间的某种旋转。
一个复数\lambda满足\det(A-\lambda I)=0当且仅当在C^n中存在一个非零向量x，使得Ax=\lambda x。我们称这样的\lambda是复特征值，x是对应\lambda的（复）特征向量。
例 2 设A=\left[\begin{array}{rr}0.5&-0.6\\0.75&1.1\end{array}\right],求A的特>征值及每个特征空间的基。
解 A的特征方程是0=\det \begin{bmatrix}0.5-\lambda & -0.6\\0.75&1.1-\lambda\end{bmatrix}\\
=(0.5-\lambda)(1.1-\lambda)-(-0.6)(0.75)\\
=\lambda^2-1.6\lambda+1依求根公式，得\lambda=\frac{1}{2}\left[1.6 \pm \sqrt{(-1.6)^2-4} \right]=0.8 \pm 0.6i。对特征值\lambda=0.8-0.6i,构造
A-(0.8-0.6i)I=\left[\begin{array}{rr}0.5&-0.6\\0.75&1.1\end{array}\right]-\begin{bmatrix}-0.3+0.6i&-0.6\\0.75&0.9+0.6i\end{bmatrix} \tag{1}由于有复数运算，手工做对增光矩阵行化简是相当慢的。不过，细心观察能找到化简问题的方法：因为0.8-0.6i是特征值，我们知道方程组：
\begin{cases}
(-0.3+0.6i)x_1-0.6x_2=0\\
0.75x_1+(0.3+0.6i)x_2=0 \tag{2}
\end{cases}有非零解（这里的x_1和x_2可能是复数），因此(2)中的两个方程确定的x_1与x_2之间的关系时统一关系，这样就可以通过其中的一个方程将某个变量用另一个来表示。
由(2)的第二个方程得0.75x_1=(-0.3-0.6i)x_2\\
x_1=(-0.4-0.8i)x_2为去掉小数，取x_2=5,有x_1=-2-4i.对应\lambda=0.8-0.6i的特征空间的基是
v_1=\begin{bmatrix}-2-4i\\5\end{bmatrix}对\lambda=0.8+0.6i做同样的计算，可求出特征向量
v_2=\begin{bmatrix}-2+4i\\5\end{bmatrix}为了验证结果是否正确，可以计算
Av_2=\left[\begin{array}{rr}0.5&-0.6\\0.75&1.1\end{array}\right]\begin{bmatrix}-2+4i\\5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-4+2i\\4+3i\end{bmatrix}=(0.8+0.6i)v_2非常意外，例2的矩阵A确定的变换x\mapsto Ax实际上是一个旋转变换。画出一些适当的点后，这一事实会变得更明显。
向量的实部与虚部
C^n的复向量x的共轭向量\bar{x}也是C^n的向量，它的分量是x对应分量的共轭复数，向量Re x和Imx称为复向量x的实部和虚部，分别由x的分量的实部和虚部组成
假设B是可能有复元素的mxn矩阵，那么，以B的元素的共轭复数为元素的矩阵记为\bar{B}。复数的共轭运算性质对复矩阵代数亦成立：
作用于C^n上的实矩阵的特征值和特征向量
设A为nxn的实矩阵，那么\overline{Ax}=\bar{A}\bar{x}=A\bar{x},假如\lambda是A的特征值，x是对应\lambda的特征向量，那么
故\bar{\lambda}同样是A的特征值，而\bar{x}是对应的特征向量。
定理 9 设A是2×2实矩阵，有复特征值\lambda=a-bi(b \ne0)及对应的C^2中的复特征向量v，那么