5.6 离散动力系统
特征值和特征向量提供了线索，使我们理解由差分方程x_{k+1}=Ax_{k}描述的动力系统的长期行为或进化。
我们假设A可对角化，有n个线性无关的特征向量v_1,\dots,v_n和对应的特征值\lambda_1,\dots,\lambda_m。为方便起见，假设特征向量已按|\lambda_1| \geqslant|\lambda_2|\geqslant\dots\geqslant|\lambda_n|的顺序排列好，因为\{v_1,\dots,v_n\}是R^n的基，故任一初始向量x_0可以唯一标示为
x_0=c_1v_1+\dots+c_nv_n \tag{1}
x0的这种特征向量分解确定了序列\{x_k\}所发生的情况，下一步计算将5.2节例5的简单情况一般化，因为v_i是特征向量，所以
x_1=Ax_0=c_1Av_1+\dots+c_nAv_n\\=c_1\lambda_1v_1+\dots+c_n\lambda_nv_n
一般有
x_k=c_1(\lambda_1)^kv_1+\dots+c_n(\lambda_n)^kv_n(k=0,1,2,\dots) \tag{2}
捕食者-食饵系统
解的几何意义
当A为2×2矩阵时，可以通过系统发展趋势的几何描述来补充解释代数计算。我们可以把方程x_{k+1}=Ax_k看做是R^2中的初始点x_0被映射x\mapsto Ax重复变换的描述，由x_0,x_1,\dots组成的图形称为动力系统的轨迹。