第四章频率域滤波

Contents

1 4.2 基本概念
2 4.3 取样和取样函数的傅里叶变换

4.2 基本概念

4.2.1 复数

复数定义：

C=R+jI \tag{4.2-1}

R和I是实数，j是一个等于-1的平方根虚数，即 $\sqrt{-1}$ .实数是I=0的复数的子集。一个复数C的共轭表示为 $C^*$ ,其定义为：

C^*=R-jI \tag{4.2-2}

极坐标：

C=|C|(cos\theta+jsin\theta) \tag{4.2-3}

其中， $|C|=\sqrt{R^2+I^2}$
欧拉公式：

e^{j\theta}=cos\theta+jsin\theta \tag{4.2-4}

其中，e=2.71828…,所以 $C=|C|e^{j\theta}$

4.2.2 傅里叶级数

具有周期T的连续变换t的周期函数f(t)可以被描述为乘以适当系数的正弦和余弦和，我们知道，这个和就是傅里叶级数，它具有如下形式：

f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{j\frac{2\pi n}{T}t}

其中，

c_n=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T}t}dt,n=0,±1，±2…是系数

4.2.3 冲激及其取样特征

线性系统和傅里叶变换研究的核心是冲激及其取样特性。连续变量t在t=0处的单位冲激表示为 $\delta(t)$ ,其定义为：

\delta(t)=\begin{cases}\infty ,&t=0 \\ 0,&t\neq 0 \end{cases} \tag{4.2-8a}

它还被限制为满足等式

\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1 \tag{4.2-8b}

物理上，我们把t解释为时间，那么一个冲激可看成幅度无限、持续时间为0、具有单位面积的尖峰信号。一个冲激具有如下积分的所谓取样特性：

\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt=f(0) \tag{4.2-9}

取样特性的一种更为一般的说明涉及位于任一点 $t_0$ 的冲激，表示为 $\delta(t-t_0)$ 。在这种情况下，取样特性变为：

\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt=f(t_0) \tag{4.2-10}

令x表示一个离散变量，单位离散冲激 $\delta(x)$ 在离散系统中的作用与处理变量时冲激 $\delta(t)$ 的作用相同，其定义如下：

\delta(x)=\begin{cases} 1,x=0 \\0,x \neq 0\end{cases} \tag{4.2-11a}

和明显，该定义也满足(4.2-8b)的离散等效形式：

\sum_{x=-\infty}^{\infty}\delta(x)=1 \tag{4.2-11b}

离散变量的取样特性有如下形式

\sum_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(t)=f(0) \tag{4.2-12}

更一般的地用位置 $x=x_0$ 处的离散冲激，

\sum_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(t)=f(x_0) \tag{4.2-13}

本节后面感兴趣的是冲激串 $S_{\Delta T}(t)$ ,它定义为无限多个分离的周期冲激单元 $\Delta T$ 之和：

S_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n\Delta T) \tag{4.2-14}

4.2.4 连续变量函数的傅里叶变换

为了方便， $f(t)$ 的傅里叶变换可写成：

F(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j2\pi\mu t}dt \tag{4.2-16}

相反，给定 $F(\mu)$ ,通过傅里叶反变换可以获得 $f(t)$ ，即：

f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\mu)e^{j2\pi \mu t} d\mu \tag{4.2-17}

(4.2-16)和（4.2-17）合起来称为傅里叶变换对。

用欧拉公式，我们把式（4.2-16）表示为

F(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)[cos(2 \pi \mu t)-jsin(2 \pi \mu t)]dt

我们看到，如果f(t)是实数，那么其变换通常是复数，注意，傅里叶变换是f(t)乘以正弦项的展开，正弦项的频率有 $\mu$ 的值决定（如早些时候提到过的，变量t被积分过了）。因为积分后左边剩下的唯一变量是频率，故我们说傅里叶变换域是频率域。t可以表示任何连续变量，频率变量 $\mu$ 的单位取决于t的单位。例如，如果t表示单位为秒的时间，则 $\mu$ 的单位为周/秒，或者赫兹。如果t表示的是以米为单位的距离，则 $\mu$ 的单位是周/米。频率域的单位是独立于输入变量的每单位周期的。

通常，傅里叶变换包含复数项，且为显示目的，通常处理该变量的幅值，该幅值成为傅里叶谱或者频谱：

|F(\mu)|=AW|\frac{sin(\pi \mu W)}{\pi\mu W}|

空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变化的频率域中的乘积。频率域的卷积类似于空间域的乘积。

4.3 取样和取样函数的傅里叶变换

4.3.1 取样

模拟取样的一种方法是用一个 $\Delta T$ 单位间隔的冲激串作为取样函数去乘以f(t)：

\tilde{f}(t)=f(t)s_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T) \tag{4.3-1}

其中 $\tilde{f}(t)$ 表示取样后函数.每个取样值由加权后的冲激“强度”给出，我们可以通过积分得到他，序列中任意取样值 $f_k$ 由下式给出：

f_k=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-k\Delta T)dt=f(k\Delta T) \tag{4.3-2}

4.3.2 取样函数的傅里叶变换

令 $F(\mu)$ 代表连续函数 $f(t)$ 的傅里叶变换。取样后的相应函数 $\tilde{f}(t)$ 是 $f(t)$ 与一个冲激串的乘积。

4.3.2 取样定理

如果以超过函数最高频率的两倍的取样率来获得样本，连续的带隙函数可以完全地从它的样本集来恢复。这个结论就是众所周知的取样定理。

4.3.4 混淆

Filed under: 图像处理,算法 - @ 2022年1月21日下午8:02

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